標度對稱，放大縮小后保持不變，換而言之，對象的一部分和整體相似。一朵白云，取其一半，還是一朵白云。而通常的物體，比如一個汽車，取其一半，只是汽車零件而已。但是，在地球上任何實際的物體，不能持續按照標度對稱的方式，反復取其一半。因為到達分子階段，物體的外在形式已不存在。在我們的想象中，或理論思考中，我們可以認為這樣一種局部和整體相似的情況存在，不必反復進行放大或縮小。

海螺的體型，幼年和成年完全可以認為是放大縮小關系。但是人的體型，幼年和成年，完全不同。比如嬰兒的眼睛位于頭部中間，成人卻是位于頭部三分之二。嬰兒的頭部和身高比例是1：5，隨著年齡增加，頭部身高比例降低到1：7。對動物而言，多數都不滿足幼年和成年身體尺寸比例恒定。前面曾闡述過動物的身體重量、攝入食物量、散熱狀況、身體骨骼承受能力相互之間的關聯。因此按比例放大是不可能存在。而海螺類似的動物，其身體類似一個扁平的餅狀，螺旋狀的管道形成身體結構，內部并無骨骼，移動需求也可以忽略。并且隨著體型變大，螺管的厚度也在增加。和其他無恒定比例的動物結構完全不同。

樹木和動物有很大區別。每顆樹都有根部，依賴根部從土壤獲得的水分和礦物質。每根樹枝依賴母枝提供養料，母枝對樹枝而言就是土壤。則樹枝的成長過程和樹木本身完全類似，僅僅是規模不同。而動物的身體各部分功能不同，整體才能組成生命體。且各部分的生長方式完全不同，對身體而言，不存在局部和整體類似的生長狀況（少數動物，比如蚯蚓，身體分為兩段，可以獨自繼續成長。這類型的動物接近標度對稱）。

自然界中，局部和整體相似處處存在。一個樹枝，上有分枝，分枝又有小枝，小枝還有樹葉。這個和樹本身就很相像。從衛星角度觀察海岸線，曲曲折折。從飛機上觀看海岸線，曲曲折折。走在海邊，看海水的邊緣，曲曲折折。雖然不盡相同，但是曲曲折折的形象完全雷同。攀登山峰，總是看到更遠處的高山。待到登上高峰，發現遠處連綿不絕的山脈繼續在前方蔓延。雖然形狀稍有不同。但是連綿不絕形成的山色涂層，如同畫布上的色帶一樣，顏色逐漸遞淺。雖不是秋水共長天一色，卻是極目楚天舒的效果。無論在那里登山，層層疊巒的風景依然歷歷在目，禁不住讓人喊道：我又回來了。

現代電腦游戲的效果越來越逼真，山脈、云彩、森林、星球都很難分辨是照片或電腦生成。這些外在差異巨大的對象，以計算機的視角來看區別很小，整體的計算機描述沒有區別，僅僅是若干細節的數值不同。我們來觀看如何生成雪花的輪廓。線段長為3，對其三等分，補充兩個長度為1的線段，令補充的線段和三等分中間的線段組成一個正三角形。然后去掉線段三等分中間的一段。我們把這個過程稱為構造過程。現畫一個正三角形，對每一個邊進行構造過程，則產生12個線段，對新生成的12個線段再進行構造過程。則產生48個線段。對新生成的線段重復進行構造過程，持續不斷。最后就生成了一朵雪花的輪廓。最早由瑞典人koch構造，稱為koch雪花。

koch雪花有什么特點呢？每構造一次，線段的長度就為原長度的4/3倍。重復進行下，則線段長度無限增加。雪花的面積最終是多少呢？設原三角形面積為1，最后的雪花面積為16。面積是有限值，而長度無限增加！通常的線段長度都是有限的，而koch構造的線段長度無限，按照前面定義的一維（長度）、二維（面積）、三維（體積），koch的線段并不滿足通常的維數定義。雖然是線段，不可能是二維，但長度無限，也不是一維情況。為了能夠使用維數來定義對象，我們取消維數是整數的要求。那么koch線段的維數就處于一維和二維之間的某個數值！標度對稱中的增加系數，就是構成過程進行一次線段長度增加的比例4/3。

觀察人體的肺泡，前面曾介紹，為了充分進行氣體交換，人體的肺泡數量多而體積小，在總體積不變的情況下，肺泡面積大幅度增加。如圖為肺泡示意圖。可以看到，和樹木的情況類似，氣管是樹干，支氣管是樹枝，支氣管下分的小管道是小枝，肺泡是樹葉。如果這個過程持續分散下去，最終肺泡面積會達到無限，但實際的生物世界總是存在限制，但從思考的角度可以認為肺泡也是一類型的標度對稱。其特征是體積有限，但面積無限！因此人體肺組織的維數就是介于二維和三維之間。標度對稱中的增加系數，就是肺泡每級分割空間所增加的面積比例。

現在我們命名這些維數居然不是整數的對象，稱為分形對象。可發現，這些對象僅僅是滿足標度對稱的特定分類。標度對稱的增加系數則依賴構造過程中的表征增加比例，比如長度增加比例。

思考：

1在現有世界中，我們可以觀察的靜態對象最大維數為3。當維數不限定為整數后，可觀察大量維數0～3之間的對象。那么是否存在維數大于3的對象？膨脹的宇宙算否？

2koch線段的標度對稱增加系數為4/3，維數介于1和2之間，能否使用4/3來描述其維數？回憶我們對維數的定義，這樣的增加系數是否滿足重的要求？對于肺泡這樣的對象，如何使用增加系數來定義維數？以汽車的尾氣凈化裝置中的鉑顆粒的分形過程為例，嘗試給出維數數值。

3如右圖構造，對線段取三等分，去掉中間的一段。重復構造下去，則線段的長度為0！此時線段的維數小于1。線段最后變成無

（本章未完，請翻頁）數個離散的點，線段已經無法維持，成為點集。以德國人cantor的名字命名。

4如右圖構造，在立方體的某個面上，九等分為九個正方形，挖掉中心正方形對應的立方體，對其他五個面也同樣進行挖掉中心立方體。也就是對立方體二十七等分，挖掉各面六個，最后將立方體中心的小立方體（顏色涂黑的部分）也挖掉。以上操作完成一次構造。反復進行同樣構造，最后立方體的體積為0，面積無限，變成一塊海綿，以波蘭人sierpinski的名字命名。嘗試給出維數。觀察面筋、凍豆腐、雪魔芋。

5皮蛋，又稱松花蛋，在蛋白表面存在若干花紋，類似松花。形成的原因稱為粘性指進（viscousfingering），因流體粘度不同，粘度小的流體滲透進粘度大的流體時產生的隨機分叉狀況。（皮蛋的蛋白液變性，失去生物活性，成為凝固狀蛋白，通常稱這種現象為中毒。早期皮蛋的外包藥劑中含有鉛的氧化物，俗稱密陀僧。現代皮蛋工藝中去掉了鉛，采用鋅或銅的氧化物。）

分形的構造過程中，重復進行構造，每次構造的規模不同，依次遞減，我們將這種遞減規模的重復構造行為稱為遞歸。標度對稱和遞歸是對同一種現象的不同視角描述：標度對稱側重整體特征，是靜態描述；遞歸側重實現過程，是動態過程。事實上，規模的遞減是表面現象，遞歸的本質是：每次遞歸都在上次遞歸的結果上進行。

現代軍隊的組織是標度對稱。以三三制為例：一軍三師，一師三團…；變成一顆樹的情景。樹根是軍，樹干是師…樹葉是士兵。軍隊的指揮是遞歸過程，軍長給師長下令，師長給團長下令…班長指揮士兵。每個指揮者僅僅指揮若干個下屬即可。

分形都存在對應的遞歸實現。以sierpinski墊片為例。a：如圖所示，面積逐漸減少，最后為0。b：讓人震驚的另類遞歸構造。1在三角形內任意取一點，如右圖中的十字星位置，2隨機選三角形一個頂點和十字星點連接，取連線中點，用五角星表示。3使用步驟2生成的五角星點為頂點，重復步驟2。最后也生成了sierpinski墊片。注意：在表面上看此遞歸過程和上圖中的遞歸不同，但實質都是依賴上次構造過程的結果來進行。由居里對稱定理來分析，初始值是隨機，過程對稱，群體結果居然是對稱！似乎不滿足定理。但初始值隨機，則全部隨機的初始值可以布滿整個三角形內部，意味著初始值的群體是對稱的。即消除了個性的群體屬性是對稱的，對稱的原因對稱的過程對稱的群體結果。那么任意一個隨機初始值，不過是這個對稱過程的具體實施。（結果是群體的！假設結果也是個體的，則初始群體的對稱結果群體的對稱，單個初始和單個結果是否對稱，則完全不知！此刻是個體個體，而非個體群體）（并非所有的隨機初始對稱過程對稱群體結果，但群體結果的和是對稱的。）

sierpinski墊片內包含任意一維的圖形。按照a生成方法，結果讓人很難相信，一個所有條件都固定的生成方法居然可以包含任意一維圖形。但按照b生成方法，由于初始值是隨機的，出現任意的一維線條組合似乎容易接受。在koch構造中，新增加的2個線段突起的方向固定是起點到終點的左邊。若讓突出方向變為隨機，則koch線段也可以包含任意一維圖形。你能想象到的一維任意復雜圖形，都沒有sierpinski墊片和隨機koch線段復雜！這種包含了全部（!）一維圖形的一維圖形，我們稱它實現了一維圖形的遍歷。普通的koch線段內，存在平移對稱或旋轉對稱，無法滿足遍歷性。

最早研究分形的幾何圖形的人是法國人本華曼德博（mandelbrot），他使用復數遞歸給出了極其漂亮的分形圖形，這些圖形充分闡述了分形的特征，自相似，也就是標度對稱。

思考：

1我們的大腦，保持分形結構，存在大量褶皺，使得大腦皮層的面積達到很高的數值。我們大腦的神經細胞（神經元）連接方式的可能性居然比宇宙中的原子數目還多！神經元的連接方式如果能遍歷任意組合，那么我們將成為神！實際上我們大腦負責處理多數事物的神經元連接方式組合遠遠超過其他動物，因此在競爭中所向無敵。但組合方式數量始終是有限的（在很多項目上，因為處理神經元數目少，所以據劣勢。比如視力vs隼，嗅覺vs豬；但理性思考和抽象思考方面的能力，使得人極度膨脹，喪失理性，有著成為神的沖動。）

2不同尺度海岸線的曲折類似狀況，蘊含著標度對稱，就意味著存在遍歷一維曲線的能力。通常可以使用隨機koch來模擬海岸線。海岸線決定于大陸板塊的運動、冰川變化、河流泥沙的沉積。而這些和地球內部流體運動、大尺度氣溫變遷相關聯。可以說著小尺度上，決定海岸線的因素很隨機，在大尺度上也很隨機，直到地球板塊階段，大致輪廓才能確定。這也正是隨機koch線段可以模擬海岸線的原因。

3地質運動和火山這兩種造山起因完全不同，所以山的外在表現特征不同。撇去山上的植被，無論規模大小，都存在不同程度的相似性。山的體積是有限值，而表面積無限擴充。和海綿相同，都是介于二維和三維的對象。火山噴發時，會產生大量浮石，可漂浮在水面上。這些浮石都是海綿類型的分形結構。由于孔狀連接畢竟是巖石材質，可以作為搓腳石，去除體表死皮組織。

4遞歸的本質給出了一個限制，上次遞歸的結果作為本次遞歸的初始值，那

（本章未完，請翻頁）么意味著遞歸的輸入和輸出是同一類型。如果輸入和輸出完全不同類型，比如能量和時間，那么無法完成遞歸。在物理系統中，可通過變換過程的作用方式，使得輸入輸出完全同類型。最簡潔的類型：輸入輸出是純粹的數值，沒有任何單位。在物理上稱為無量綱方法，由美國人buckingham提出的Π定理來處理。在數學上，數值沒有區別，但是存在數的組織方式的差異（標量、矢量、矩陣…）。當組織方式相同時，遞歸的方法一般稱為迭代（過程一般稱為算子）。數值大小上的差異：在計算機實施運算時，數值差異太大，導致表達誤差的放大。讓輸入輸出的數值大小接近（最好是在1附近），最大程度地保持精度，稱為歸一化處理。遞歸結束時，輸出為最終結果，那么遞歸過程的中間產物從幾何角度來看，就是不斷接近最終結果的過程，可把最終結果稱為不動點。如果中間結果和不動點之間的距離在持續減小，則過程是單調的。現實的世界總是存在誤差，無法完美地抵達不動點。通常在中間結果在小范圍變動而不逾越范圍時結束遞歸，稱遞歸停滯，并以此時中間結果為最終結果。

分形必然意味著遞歸，但遞歸不一定產生分形！分形是遞歸的充分條件，遞歸是分形的必要條件。意味著分形和遞歸兩者不對稱。那么產生分形和不產生分形的遞歸，存在什么差異？

在自然界，任何變動，都可以從多個角度來觀察。從能量的角度，系統任何變動都可以分類為獲得能量、能量不變、失去能量中的一類。失去能量過程，能量最低為0，無法為負。因此這類過程不可能產生遍歷狀況，因為能量比初始大的情況永遠無法出現。獲得能量過程，如果能量持續增加，最后到無限大。但能量低于初始值的情況無法出現。因此如果遞歸過程出現遍歷，就必須：1能量放大。2能量不是單調放大，中間出現反復（震蕩），進入低能量狀態。能量不變，則能量任意轉換。由能量轉換的不對稱性，最終能量變為無價值的熱，無法實現能量遍歷。能量無限大，這個無法在我們的宇宙出現。因此換視角，以狀態的視角來觀察遞歸過程。狀態變動存在范圍，那么觀察狀態是否遍歷整個范圍。狀態變動，如果存在不動點，無論是單調接近還是震蕩接近，都意味著無法遍歷。如果中間結果的變動范圍：1始終不存在收縮，2并且無規律可尋，那么意味著遍歷（變動范圍一直在增加，可能出現嗎？）！我們把遍歷狀態的過程稱為混沌過程。

在一個區間內出現遍歷，和無限制的遍歷，是等效的嗎？遍歷意味著標度對稱，那么有限區間可以放大到無限，因此遍歷等效。因此觀察遞歸是否產生分形，則觀察遞歸是否存在上述的兩個特性。

遞歸出現分形與否，有時候僅僅只是某個數值的微不足道的差異。對于這種差之毫厘，謬以千里的情況，我們稱之為不穩定狀態。而毫厘產生千里的效果，稱為蝴蝶效應。迭代過程表達式ax(1x)，當初始x在[0,1]之間時，反復進行迭代，a信息完全的過程信息消失。分解這個過程為兩部分：1信息完全信息完全的過程信息完全。2微小的未知信息信息完全的過程（數量未知）未知信息。綜合兩部分，可以推理出，雖然未知信息的數量未知，但肯定和原始信息的數量相當，導致綜合結果對應的信息消失！那么遞歸過程必然實現了將微小的誤差放大到足以擾亂正常信息的程度。遞歸過程放大誤差信息。本質是誤差的數值逐漸變大。而遞歸結果存在范圍，則意味著原始的數值無法增加，原始信息量和誤差信息量相比，逐漸降低。

2若將精確初始值當作誤差來看待，則遞歸過程必將中間結果放置到允許范圍的任意位置，假設存在某些無法抵達的位置，則意味著誤差信息是有規律可循的！因此產生混沌的遞歸必然蘊含著遍歷。

3計算機的精度截斷，意味著未知信息的丟失。事實上，在誤差放大過程中，不斷依賴從前是更微小的數值補充未知信息。截斷意味著補充喪失。在遞歸計算時，出現重復情況。比如遞歸進行2000次，發現結果和初始值完全相同！那么這個遞歸就存在周期為2000的周期性。當精度提高，發現周期性延長。若不存在精度截斷，則不存在周期性。

4計算機不可能模擬真實的天氣變化軌跡，但卻可以嘗試讓真實天氣軌跡為陰影軌跡。進行氣候模擬時，初始的氣象觀測值非常多，都存在誤差。多次計算機模擬力爭找到陰影軌跡為真實軌跡的情況。事實上在解釋計算結果為真實天氣狀況時，大量軌跡對應的卻是數量相對很少的氣象狀況。最終給出了各種氣象狀況的可能性。

5現實生活中觀察周期性的變動。輕輕打開水龍頭，緩慢生成水滴，最后滴落。統計一分鐘下落的水滴個數。然后輕微擰大水龍頭，增加出水量。繼續統計一分鐘水滴個數。會發現，水滴個數不變，僅僅是大水滴、小水滴、大水滴、小水滴這樣的方式滴落。當出水量大到一定程度，水滴個數突然變成原來的兩倍！在原來滴落兩滴的時間內，四滴水滴落。繼續擰大水龍頭，觀察水滴個數，發現增加的規模都是兩倍。以原始兩個水滴之間的時間間隔為單位，統計此時間段內水滴的個數，則水滴個數就是2、4、8、16…這樣的序列。沒有其他情況出現！當水滴個數增加到一定程度后，水滴序列不再有規律，水滴似乎隨機下落，混沌出現！繼續放大出水量，水滴之間無分割時間，變成小水流。（注意水龍頭下面用容器接水，避免浪費。此時不能用稱重的方法來統計水滴個數，因為大小不同。）

（本章完）

(天津)

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